Через точку К – середину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость α параллельно катету АС, которая пересекает катет ВС в точке L так, что BL - LK = 3 см, а СK = 6 см.
Из условия вытекает, что отрезок LK равен половине АС, а <span>BL - половине ВС. </span>Отрезок СК как медиана прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть СК = ВК = 6 см. Отсюда вывод: гипотенуза АВ = 2*6 = 12 см. Пусть BL = х, а <span>LK = у. Катеты треугольника АВС равны: BC = LB = 2x, АС = 2LK = 2y. Тогда по Пифагору АВ</span>² = АС²+ВС², Если заменить у = х - 3, то получим: 12² = (2х)²+(2(х-3))², 144 = 4х²+4х²-12х+36, 8х²-24х-108 = 0 или, сократив на 4: 2х²-6х-27 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-6)^2-4*2*(-27)=36-4*2*(-27)=36-8*(-27)=36-(-8*27)=36-(-216)=36+216=252;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√252-(-6))/(2*2)=(2root252+6)/(2*2)=(√252+6)/4=√252/4+6/4=√252/4+1.5 ≈ 5,468627 см;x₂=(-√252-(-6))/(2*2)=(-√252+6)/(2*2)=(-√252+6)/4=-√252/4+6/4=-√252/4+1.5 ≈ -2,468627 (отрицательный корень не принимаем). Находим у = х - 3 = 5,468627 - 3 = <span>2,468627 см. Катеты треугольника АВС в 2 раза больше полученных значений: ВС = 2х = 2*</span>5,468627 = <span>10,93725 см, АС = 2у = 2*</span>2,468627 = <span>4,937254 см. Отсюда площадь S треугольника АВС равна: S = (1/2)ВС*АС = (1/2)</span>10,93725*<span>4,937254 = 27 см</span><span>².</span>