В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC.
Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.
Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.
Есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных
ВС и АD. (Представлены на рисунках).
Для всех четырех решение и результат одинаковы:
Искомое расстояние - это перпендикуляр EF к прямой CD.
По условию ВС - средняя линия треугольника ADS.
DC=SC, AB=BS. SD=2DC. Тогда по свойству касательной и секущей из
одной точки к окружности имеем:
SE² = SD*SC = 2DC² или
SE = CD√2.
Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS).
Из подобия треугольников имеем:
EF/DH = SE/CD => EF = DH*SE/CD.
EF=4CD√2/CD = 4√2.
Или так:
EF=SE*Sin(<ESF) =SE*Sin(<DCH).
<ESF=<DCH =α (соответственные углы в подобных треугольниках)
α= SE*Sinα
Sinα=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Или так:
EF=SE*Cos(<SEF) =SE*Cos(<FDA).
<SEF=<FDA =β (соответственные углы в подобных треугольниках)
α= SE*Cosβ
Cosβ=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Все эти варианты, в принципе, одно и то же.
Ответ: EF= 4√2.
Так как решение при любых вариантах расположения окружности и
трапеции одинаково, можно привести решение подобных задач в общем
виде для разных значений ВС и AD.
Решение.
Пусть ВС= а, AD=b. AD>BC.
Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу
<S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия имеем:
EF/HD = SE/CD => EF = DH*SE/CD.
Следовательно, чтобы найти EF, надо выразить DH, SЕ и CD через
основания трапеции ВС и AD.
DH=AD-BC = (b-a) (по условию).
Прямоугольные треугольники ASD и BSC подобны по общему острому углу
<S. Коэффициент подобия равен k=ВC/AD=a/b. Тогда
SC=CD*a/(b-a).
SD=SC+CD = CD*(a/(b-a)+CD = CD(a/(b-a) +1)= CD*b/(b-a).
По свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем:
SE² = SD*SC.
SE² = SD*SC=CD*b/(b-a))*CD*a/(b-a) = CD²*a*b/(b-a)².
SE = CD*√(a*b)/(b-a).
EF=(b-a)*CD*√(a*b)/((b-a)*CD) = √(a*b).
Ответ: расстояние от точки Е до прямой CD равно √(ВС*AD) для любых значений ВС и AD.
ЕF=√(ВС*AD).
P.S. для нашего случая ответ:
ЕF= √(4*8) = 4√2.
<span>1) </span><span>Если AB
= CD, AD = ВС то это параллелограмм, по
свойству параллелограмма противоположные углы равны то углы А</span>DC и АBC равны,
<span>2) </span>бисиктриса
делит углы пополам, из этого вывод углы АBE = СВЕ = СDF = АDF
<span>3) </span>Свойства
треугольника если две стороны и один угол одного треугольника равны двум
сторонам углу второго то такие треугольники равны.
<span>4)
</span>Согласно стороны AB = СD по условию задачи, ВЕ = DF по свойству параллелограмма, углы АBE = СDF.
<span>треугольники ABE = CDF</span>
=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
У параллелограмма противолежащие стороны равны => отрезок [АВ] равен отрезку [CD]. Диагонали параллелограмма в точке их пересечении делятся пополам. Пусть диагонали АС и BD пересекаются в точке М. Тогда из этих 3х предложений делаем вывод о том, что |СD| = |AB| = |AO| = |OC|, то есть, |ОС| = |CD|. Получается, что ∆ ОСD - равнобедренный ∆ по определению => у него (по признаку) углы при основании равны. Нам известен угол между боковыми сторонами, он равен 74°, тогда каждый из 2х других углов ∆ OCD равен (180°- 74°)/2 = 53°. А угол СОD в ∆ ОСD - это острый угол между диагоналями АС и BD. Тогда тупой угол между диагоналями АС и BD равен 180° - 53° = 127° (так как в условии задачи не сказано, какой именно угол между диагоналями нужно найти). Ответ: острый угол между диагоналями равен 53°, тупой угол между диагоналями равен 127°.
BC=6
AD=10
H1H2=KM=(BC+AD)/2=8
S=KM*H1H2=8*8=64