Для того, чтобы правильно написать: по прочтению или по прочтении, нужно правильно выбрать падеж, в котором должно быть употреблено имя существительное «прочтение» с предлогом «по».
В дательном падеже: чему? прочтению.
В предложном падеже: о чём? о прочтении.
Если существительное имеет значение действия или события, которое завершено, то с предлогом «по» почти всегда употребляется предложный падеж вместо дательного.
По завершении, по прибытии, по приезде, по прилёте, по окончании.
В приведённом в вопросе сочетании предлога «по» и имени существительного «прочтение» по значению завершенности действия выбираем, несомненно, предложный падеж.
Книгу прочитали, значит, действие завершилось, поэтому нужно писать и говорить: по прочтении книги.
Приведу пример, когда существительное, похожее на «прочтение», с предлогом «по» нужно ставить в дательный падеж.
«Расписание» - с предлогом «по» только в дательном падеже: по расписанию.
Почему? Потому что не обозначает завершённое действие.