3. Рассмотрим треугольники АОВ и ВОА. Они прямоугольные (радиус в точке касания перпендикулярен к ней) и равные (ОА-общая, ОВ=ОС - радиусы).
Тогда АС=АВ=12. По теореме Пифагора ОА=корень из 144+81=15.
4. По тем же теоремам треугольники ОМК и ОМN прямоугольные и равные. И МК=МN= корень из 169-25=144=12.
5. Угол ВСА =1/2 дуги АВ, а угол ВАС=1/ дуги ВС. Пусть 1 часть=х, тогда дуга АВ=11х, а дуга ВС=12х. Дуга АС= вписанному углу АВС=130. Составим уравнение 11х+12х+130=360. 23х=360-130. х=10. значит дуга АВ=110 и угол ВСА=110. А дуга ВС=120 и угол ВАС=120
Sполн=2Sосн+Sбок, в основании правильный тр-к со стороной 2, вычислим его площадь по формуле S=(a^2)*(sqrt3)/4=4*(sqrt3)/4=sqrt3 (sqrt - это значок корня)
Sбок=Pосн*р=3*2*1=6. Sполн=6+2sqrt3=2(3+sqrt3)
В сечении получится равнобедренный тр-к с основанием АС=2, и боковой стороной АВ1. Боковую сторону вычислим по т.Пифагора из тр-ка АВВ1: АВ!=sqrt(4+1)=sqrt5
Сейчас площадь уже можно найти по формуле Герона:
p=((2sqrt5)+2)/2= (sqrt5)+1 - это полупериметр,
S=SQRT((sqrt5)+1)*1*1*((sqrt5)-1))=sqrt(5-1)=2
Пусть АО=Х, ОН=У(смотри рисунок). Далее получим два уравнения из подобия прямоугольных треугольников(по острому углу). Разделим (1) на (2) и получим уравнение в которое пдставим значение У=15/Х. Ответ АН=4 корня из 5.
2) АМ = 24 - 8 = 16 см.
Из подобия треугольников АОМ и АСД вытекает ОМ / СД = 16 / 24 = = 2 / 3. На ВО остается 1 часть.
А так как ВМ = СД, то ВО / ОМ = 1 / 2.
3) Угол А = В = 45
АС = ВС = (корень(4V2)^2) / 2 = 4 см
АМ = корень(4^2 + 2^2) =V20 = 2V5 см= 4,472 см
4) Если провести КН параллельно АД и продлить сторону СД, то получим подобные треугольники СМД и СКН.
КН = АД = 15 см.
МД / КН = 3 / 5
МД = 15*3 / 5 = 9 см.
Угол С разделен пополам и угол К - тоже. Отсюда КН =НС.
МД = ДС = 9 см
Р = 2*(15+9) = 48 см.
Так как АМ и ВН высоты, то треугольники САМ и СВН - прямоугольные. Угол С у них общий. Значит треугольники подобны по равному острому углу.