1) t =((3- 2x)/(5x+1))² ;
t = 82/9 - 1/t ;
t +1/t = 82/9 ; **** [ t² - 82/9t +1 =0] ***
t +1/t =9 +1/9 ;
[ t =9 ; t =1/9.
a) ((3- 2x)/(5x+1))² =9 .
[(3- 2x)/(5x+1) = - 3 ;(3- 2x)/(5x+1) = 3 . [ x = -6/13 ;x =0.
b) ((3- 2x)/(5x+1))² =1/9.
[(3- 2x)/(5x+1) = -1/ 3 ;(3- 2x)/(5x+1) = 1/3. [ x = 10 ; x =8/11.
ответ : - 6/13 ;0 ; 8/11 ;10.
2) (x/(x-1))² + (x/(x +1))² =45/16;
(x/(x -1) + x/(x+1))² - 2*x/(x-1)*x/(x+1) =45/16 ;
(2x²/(x² -1))² -2x²/(x² -1) =45/16 ;
t =2x²/(x² -1);
t² - t -45/16 =0;
t₁ = -5/4 ;
t₂ = 9/4 .
a) 2x²/(x² -1) = -5/4 не имеет решения ю
b) 2x²/(x² -1) = 9/4 ⇒ x ₁= - 3 ; x₂ =3;
ответ : - 3 ;3 .
------------------------------- или ---------------------------
(1+1/(x-1))² + (1 - 1/(x+1))² =45/16 ;
. . .
Скидываем в левую часть вот так:
Дальше замена
Чтобы решить это уравнение, надо возвести обе части в квадрат, а чтобы при этом не накосячить с лишними корнями, нужно чтобы правая часть была неотрицательна.
Вот теперь возводим в квадрат:
Второй корень больше 7 и нам не подходит, остается t=4.
Тут стоит ответить важный момент. У кого то мог возникнуть вопрос: а какого ляда мы не проверяли при каких значениях под корнем находится неотрицательное выражение, почему дополнительно не пишем t≥-5?
Ответ: потому что при нашем преобразовании мы получаем, что
видно, что t+5 равно квадрату выражения 7-t, то есть уж точно не будет отрицательным для любых найденных t. Здесь этот момент кажется не особо важным, но бывают задания, где под корнем стоит квадратный трехчлен или еще чего похуже и дополнительный поиск области определения корня может сильно усложнить решение. Ладно, заканчиваем графоманию.
Итак, мы получили t=4. Перейдем обратно к x.
Х + у = 260
9x + 24y = 15( x + y )
---------
9x + 24y = 15x + 15y
6x = 9y
X = 1,5y
1,5y + y = 260
2,5y = 260
y = 104 ( г ) сплава с 24 %
Х = 1,5 • 104 = 156 ( г ) сплава с 9 %
Задача на уравнение касательной к графику функции. Решение см во вложении.