1. Известно, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, т.е. АВ перпендикулярна ОВ. Рассмотрим получившийся треугольник ОАВ. Он прямоугольный, а значит можно применить теорему Пифагора.
а^2+b^2=c^2
Подставляем чиста в формулу
41^2=AB^2+OB^2
1681=AB^2+81
AB^2=1681-81=1600
AB=40
Ответ 40
По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними:
DB/AB = BE/BC = 3/5 = k
Значит ∠В общий, следовательно, ΔDBE~ΔABC. Из подобия треугольников соответственные углы равны, т.е. ∠BDE=∠BAC отсюда следует, что DE || AC
1)4. Точка О - центр вписанной окружности, так как она равноудалена рт
сторон треугольника. Центр вписанной окружности лежит на пересечении
биссектрис внутренних углов треугольника. Значит <MKO=<NKO.
<MKN=80°. Тогда сумма <KMN+KNM=100°, а сумма их половин равна,
естественно, 50°. Значит <MON в треугольнике МОN равен 180-50=130°.
Ответ: <MON=130°.
2) Точка О - точка пересечения биссектрис треугольника. Значит ОЕ - тоже
биссектриса. И точка О
и если ЕК - это прямая, а не два разных по направлению отрезка ОЕ и ОК,
то треугольник MEF- равносторонний и в нем ЕК - высота, биссектриса и
медиана. Следовательно, точка О делит отрезок ЕК на два в отношении 2:1
от вершины.
ОК=4.
ОТВЕТ: ОК=4.
3. <span>АА1 и ВВ1 медианы и по свойству медиан треугольника делятся в точке пересечения на отрезки в отношении 2:1, считая от вершины.
Значит АО=8, ОА1=4, ВО=6, ОВ1=3.
И
если медианы АА1 и ВВ1 перпендикулярны(что совершенно не понятно по рисунку, но должно быть - иначе решения нет), то из прямоугольного
треугольника А1В1О по Пифагору найдем А1В1=√(ОВ1²+ОА1²)=√(9+16)=5.
АА1 - средняя линия треугольника АВС, значит АВ=А1В1*2=10.
ОТВЕТ: АВ=10.</span>
4) Дано: KF -перпендикуляр к NP
NR - перпендикуляр к КР
ОЕ - перпендикуляр к KN
Точка О - их пересечение. ОК=8, ОF=6, FP=8.
В прямоугольном треугольнике РОF по Пифагору ОР=√(OF²+FP²)=10
Есть теорема: "Высоты треугольника пересекаются в одной точке".
Значит ОЕ - часть высоты РЕ, опущенной на сторону КN.
Прямоугольные треугольники КЕО и РFO подобны по острому углу,(углы ЕОК и
FOP - вертикальные). Из подобия имеем: ЕО/OF=ОК/ОP, отсюда ЕО=ОК*ОF/ОP
или ЕО=8*6/10=4,8.
Ответ: ЕО=4,8.