Решить уравнение
1 ответ:
Данное уравнение удобно решать методом оценки (т.е. сравнения области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения).
Находим О.Д.З.:![\begin {cases} x(4-x) \geq 0 \\ (1-x)(x-3) \geq 0\\ x(2-x) \geq 0 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x \in [0;4] \\ x \in [1;3] \\ x \in [1;2] \end {cases} \Rightarrow x \in [1;2].](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%20%7Bcases%7D%20x%284-x%29%20%5Cgeq%200%20%5C%5C%20%281-x%29%28x-3%29%20%5Cgeq%200%5C%5C%20x%282-x%29%20%5Cgeq%200%20%5Cend%20%7Bcases%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5Cbegin%20%7Bcases%7D%20x%20%5Cin%20%5B0%3B4%5D%20%5C%5C%20x%20%5Cin%20%5B1%3B3%5D%20%5C%5C%20x%20%5Cin%20%5B1%3B2%5D%20%5Cend%20%7Bcases%7D%20%5CRightarrow%20x%20%5Cin%20%5B1%3B2%5D. "\begin {cases} x(4-x) \geq 0 \\ (1-x)(x-3) \geq 0\\ x(2-x) \geq 0 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x \in [0;4] \\ x \in [1;3] \\ x \in [1;2] \end {cases} \Rightarrow x \in [1;2].")
1) Рассмотрим функцию
на отрезке [1; 2].
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное √3, f(x) принимает при х=1.
2) Рассмотрим функцию
на отрезке [1; 2].
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное 0, g(x) принимает при х=1.
3) Левая часть исходного уравнения - сумма f(x) + g(x) на отрезке [1; 2].
f(2)+g(2)= 2+1 = 3 - наибольшее значение левой части исходного уравнения, которое достигается при х = 2.
f(1)+g(1) = √3 + 0 = √3 - наименьшее значение суммы (при х=1).
Итак, область значений левой части есть [√3; 3]
4) Рассмотрим функцию
на отрезке [1; 2].
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное 3, h(x) принимает при х=2.
Итак, область значений правой части есть [3; 4].
5) Вывод. Корни уравнения существуют при х∈[1; 2].
Левая часть имеет значения из [√3; 3], а правая - из [3; 4].
Видим, что левая и правая части исходного уравнения равны 3 при х=2.
Ни при каких других значениях х левая и правая части не имеют общих значений.
Значит, х=2 - единственный корень.
Проверка:
равенство верное.
Ответ: 2.
Находим О.Д.З.:
1) Рассмотрим функцию
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное √3, f(x) принимает при х=1.
2) Рассмотрим функцию
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное 0, g(x) принимает при х=1.
3) Левая часть исходного уравнения - сумма f(x) + g(x) на отрезке [1; 2].
f(2)+g(2)= 2+1 = 3 - наибольшее значение левой части исходного уравнения, которое достигается при х = 2.
f(1)+g(1) = √3 + 0 = √3 - наименьшее значение суммы (при х=1).
Итак, область значений левой части есть [√3; 3]
4) Рассмотрим функцию
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
Наименьшее значение, равное 3, h(x) принимает при х=2.
Итак, область значений правой части есть [3; 4].
5) Вывод. Корни уравнения существуют при х∈[1; 2].
Левая часть имеет значения из [√3; 3], а правая - из [3; 4].
Видим, что левая и правая части исходного уравнения равны 3 при х=2.
Ни при каких других значениях х левая и правая части не имеют общих значений.
Значит, х=2 - единственный корень.
Проверка:
равенство верное.
Ответ: 2.
Читайте также