(1-3b)x² + 4bx - (b+1) = 0
x(1,2)= [(-4b+/-√(16b²+4(1-3b)(b+1))]/2(1-3b)
1) знаменатель не равен нулю:
2(1-3b)≠0
b≠1/3, исключаем 1/3
2) дискриминант больше нуля исключает комплексные числа,
дискриминант не равен нулю, иначе корни будут одинаковые
16b²+4(1-3b)(b+1)=0, раскрываем скобки, решаем уравнение
b²-2b+1=0
b=1, исключаем 1, b≠1
b∈(-∞; 1/3), (1/3; 1), (1; +∞)
при этих значениях b уравнение имеет два разных действительных корня
ВСПОМИНАЕМ
Уравнение окружности = х² + у² = R²
РЕШЕНИЕ
а) Система уравнений - окружность и прямая.
{ x²+y² < 4
{ x< 0
Только при отрицательных значениях Х.
б) Разность двух окружностей.
Сдвиг центра окружности в точку О((2;-3).
Радиусы - R= 8-2 = 6 r= 6-2 = 4
{ (x-2)² + (y+3)² < 6² - внутренняя часть
{ (x-2)² + (y+3) > 4² - внешняя часть.
448|_37
37 12
78
74
4(ост.)
Найит частное решение дифф.уравнения
![\displaystyle y``+64y=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%60%60%2B64y%3D0)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составим и решим характеристическое уравнение:
![\displaystyle k^2+64=0\\\\k^2= -64\\k=\pm 8i](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+k%5E2%2B64%3D0%5C%5C%5C%5Ck%5E2%3D+-64%5C%5Ck%3D%5Cpm+8i)
получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
![\displaystyle y=C_1cos8x+C_2sin8x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%3DC_1cos8x%2BC_2sin8x)
Теперь найдем частное решение
![\displaystyle y_0=8; y(\frac{\pi}{16})=C_1cos(8*\frac{\pi}{16})+C_2sin(8*\frac{\pi}{16})=\\\\=C_1cos\frac{\pi}{2}+C_2sin\frac{\pi}{2}=C_2\\\\y(\frac{\pi}{16})=C_2=8](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y_0%3D8%3B+y%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B16%7D%29%3DC_1cos%288%2A%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B16%7D%29%2BC_2sin%288%2A%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B16%7D%29%3D%5C%5C%5C%5C%3DC_1cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2BC_2sin%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3DC_2%5C%5C%5C%5Cy%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B16%7D%29%3DC_2%3D8)
найдем производную
![\displaystyle y`=-8C_1sin8x+8C_2cos8x\\\\y`(\frac{\pi}{16})=-8C_1sin\frac{\pi}{2}+8C_2cos\frac{\pi }{2}=-8C_1=24\\\ C_1=-3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%60%3D-8C_1sin8x%2B8C_2cos8x%5C%5C%5C%5Cy%60%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B16%7D%29%3D-8C_1sin%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B8C_2cos%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B2%7D%3D-8C_1%3D24%5C%5C%5C+C_1%3D-3)
тогда частное решение:
![\displaystyle y=-3cos8x+8sin8x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%3D-3cos8x%2B8sin8x)