Я с ней играю так чтобы ей было весело, потом покормлю, и спать. если не хочет спать то буду играть пока она не устанет!
Радоваться -неопределённая форма глагола -АТЬ-
Существ ,нач.ф.- участье ,нариц ,неодушевл ,ср. род ,2 скл ,вед числе ,в творит . падеже
В предложении является косвенным дополнением.