Трудно назвать чисто русские настольные игры, поскольку многие были придуманы совсем не в России, но со временем стали здесь "своими", вошли, так сказать в быт многих людей.
Но, например, принадлежность бирюлек к русским забавам никто, вроде бы, не оспаривает. К сожалению, в них уже давно мало кто играет. Правила довольно просты: высыпав в начале игры бирюльки кучкой на стол, играющие с помощью специальных крючков стараются извлечь из кучи бирюльку так, чтобы соседние не сдвинулись с места. Если бирюльки пошевелились, то ход передавался следующему игроку. Выигрывал тот, кто набрал больше бирюлек.
Среди "присвоенных" настольных игр я бы поставил на первое место не совсем русскую, но довольно распространенную в России, игру - домино. По крайней мере в советские времена стук костяшек был слышен почти в каждом дворе. Существует несколько разновидностей игры в домино, но основной смысл сводится к поочередному выставлению доминошек так, чтобы цифра на выставляемой доминошке совпадала с цифрой на крайней доминошке, находящейся уже на столе.
Следом можно разместить шашки, которые даже стали называться "русскими", шахматы и лото: в них играют многие.
Правила игры в шашки и, тем более, в шахматы более сложные и их можно посмотреть, например, в интернете: шашки и шахматы.
А принцип игры в лото довольно прост: из мешка по очереди вынимаются бочонки лото с указанными на них цифрами (от 1 до 90), цифра озвучивается и названная цифра закрывается игроками на заранее розданных им картах (на этих картах 3 ряда по 9 полей в каждом ряду, причем 5 полей в ряду отмечены цифрой). Победителя определяют по заранее оговоренной договоренности: либо им становится тот, кто закрыл один ряд на своей карте, либо закрывший все цифры карты, либо по еще каким-то условиям.
Ну и карточные игры можно, конечно добавить - их довольно много: тот же подкидной дурак или "тянуть душу", например.