Заботиться и заботится пишется с мягким знаком и без него в зависимости от грамматической формы слова.
Оба слова "заботиться" и "заботится" оканчиваются на буквосочетания -ться и -тся, которые звучат абсолютно одинаково как [ца].
Эти слова можно отличить в контексте по заданному вопросу.
Каждый должен заботиться о своем здоровье.
Должен что делать?
Слово "заботиться" - это глагол в неопределенной форме, который пишется обязательно с мягким знаком.
Обратим внимание, что слово "заботиться" чаще всего употребляется в предложении в паре с каким-нибудь глаголом, имеющем модальное значение желания, долженствования, необходимости, то есть является второй частью составного глагольного сказуемого.
Примеры
Мы намереваемся заботиться об этой сироте.
Ему необходимо заботиться о каком-либо животном.
Все хотят заботиться о своих детях.
Рассмотрим другой контекст.
Мальчик заботится о своей собаке.
Слово "заботится" отвечает на вопрос: что делает?
В вопросе нет мягкого знака. Слово "заботится" является формой 3 лица глагола, которая является простым глагольным сказуемым в предложении.
"Заботится" пишется без мягкого знака согласно правилу русского языка.