Слово "врач" образовано от глагола вьрати. Это сейчас глагол "врать" имеет негативную коннотацию, а раньше он означал просто "говорить", "заклинать".
Таким образом, слово врач означало в те времена знахарь, заклинатель, тот, кто лечит с помощью заклинаний.
И до сих пор в некоторых славянских языках это слово имеет такое значение. Например, в болгарском языке врач - это целитель, заклинатель, гадатель. А медицинский работник называется в Болгарии лекар.
В словенском языке слово vráč означает знахарь, целитель, а тот, кто лечит людей в больницах называется zdravnik.
Так что, никаких монголов тут и близко нет.
Слово врач имеет исконно славянское происхождение.