По правилу орфографии существительные, обозначающие половину чего-либо, пишутся слитно, через дефис и раздельно.
По правилу, если второе слово начинается с гласной буквы, то пишем через дефис. Например: пол-яблока, пол-ананаса, пол-окна, пол- одиннадцатого.
Если второе слово начинается с согласной буквы "л". Например пол-листа, пол-лестницы, пол-лица.
Если второе слово является именем собственным и оно пишется с заглавной буквы.Например: пол-Америки, пол-Москвы, пол-Европы.
Во всех остальных случаях правильное написание слитно.Например: полчаса, полдня, полнеба.
Слово "полквартала" относится к последнему случаю. Правильно писать слитно.
Возможно раздельное написание, но в этом случае между "пол" и существительным должно стоять поясняюшщее слово.
Пол нового квартала уже засадили деревьями.