Пусть дано дифференциальное уравнение
(y²–x²)•dy+2xy•dx=0.
Разделим это уравнение на xy≠0. Получим:
[(y/x)–(x/y)]•dy+2•d<wbr />x=0.
Сделаем замену t=y/x. Тогда y=tx, dy=t•dx+x•dt. Подставив эти выражения в последнее уравнение, получим:
[t–(1/t)]•(t•dx+x•dt<wbr />)+2•dx=0, или
(t²+1)•dx+x•[t–(1/t)<wbr />]•dt=0=>(t²+1)•dx=x•[ (1/t)–t ]•dt.
Разделяя переменные в полученном уравнении, а затем интегрируя обе части получившегося выражения, получим:
[(1–t²)/((1+t²)•t)]•<wbr />dt=dx/x,
ln|t|–ln|t²+1|=ln|x/<wbr />C1|=>t/(t²+1)=x/C1.
Проведя обратную замену t=y/x, после некоторых преобразований, получим два общих решения исходного дифференциального уравнения:
y=[C1±√(C1²–4x²)]/2=<wbr />C±√(C²–x²), C=C1/2.
№ 8 Нужно преобразовать выражение с корнем под знаком логарифма в выражение в виде степени х, это общепринятый способ. Тогда получим logbX^(4/3) = 4/3 * logbX. Но так как logbX = 0,2, то значение этого выражения будет равно 4/3 * 0,2 = 0,8/3. Ответ 0,8/3.
№9 Функцию у = log2 (8*х^3) преобразуем используя свойства логарифмов log2 (8*х^3) = log2 8 + log2 х^3 = 3 + 3*log2 х. Значит получим следующую функцию у = 3 + 3*log2 х, график которой можно получить из графика функции у = log2 х параллельным переносом на 3 единицы по оси 0у и сжатием по оси 0у с коэффициентом 3.
Определить значение переменных можно на основании преобразования графиков показательных функций.
Здесь k =20 смещение графика вверх до комнатной температуры.
Если каждые 5 минут температура изменялась на 25% в экспоненциальной зависимости, то
b^5 = 1- 0,25, откуда b = 0,75^(1/5) ≈ 0,944.
Смещение h₀ графика вправо определим при х = 0, у =100,
b^ h₀ + 20 =100, тогда h₀ = log(0,944) 80 ≈ - 76,16.
Выразим смещение в показателе степени целым числом h = - 76.
В результате (а) следует вычислить, используя следующую зависимость
a=b^( h₀ - h) ≈ 1,0093.
Данное решение отражено на графическом калькуляторе. Построенный и исходный графики идентичны.
- Область определения первой функции 1а) х не равно 13, область значений соs принимает значения от -1 до 1, поэтому данная функция будет принимать значения от -9-4 до -9+4, то есть от -13 до -5 (включительно).
1б) соsх+2 не равно нулю, то есть соsх не равно нулю, а это условие выполняется всегда, поэтому область определения этой функции множество действительных чисел.
Область значений: соsх принимает значения от -1 до 1, значит соsх + 2 от 1 до 3 или данная функция от 1/39 до 1/13.
- sinx функция нечетная, tgx тоже нечетная, причем одновременно с sinx поэтому их разность также нечетная функция.
- sin п/2 = 1, sin п/3 = 0,85, sin 0 = 0, sin (-1) меньше нуля. cos 113 меньше cos 118. cos 1,5 меньше cos 6 (используем возрастание и убывание функций на промежутках)
- y=2 sinx соsх/13 преобразуем используя формулу двойного аргумента и получим y=sin2x/13, но как известно наименьшее значение sin равно -1, для этой функции -1/13.
- Строим график функции sinx сжимаем его по оси у в 2 раза и переносим на 2 единицы влево по оси х.
Целевая функция - это выражение (функция), которое зависит от нескольких переменных, для которой надо найти максимум или минимум.
Такие функции используют во многих прикладных науках, например, в математическом программировании.
Один из случаев, когда применяют целевую функцию - это поставки товаров в магазины из нескольких складов. Надо добиться того, чтобы стоимость поставок (количество тонно-километров) была минимальной. Для решения этой задачи составляется целевая функция и ищется ее минимум.
Есть, конечно, много других задач, для которых применяют целевую функцию.