Идеально, конечно, если один из супругов выявляет желание оставить себе питомца, а второй на это согласится. Но зачастую бывает так, что оба супруга сильно привязаны к животному, и как тогда быть?
Многие специалисты рекомендуют ещё при заведении животного определиться с его хозяином. Особенно это актуально для собак. Собака должна понимать, кто её хозяин, тем более если её хотят дрессировать. В таком случае хозяин должен и кормить, и выгуливать пса... Если есть такое понятие "хозяина", то естественно, что животное должно остаться с ним.
Но, например, коты зачастую сами считают себя хозяевами проживающих с ними людей, и люди к ним привязываются одинаково - в таком случае, мне кажется, лучше будет оставить животное в той квартире, где жила семья, с тем, кто остаётся там жить, потому что для домашних котов, привыкших к родной квартире, смена места обитания - большой стресс. Если же кот нормально относится к переездам, можно договориться ухаживать за ним по очереди (главное, чтобы это не превратилось в выпендривание перед животным, как это иногда бывает с детьми при таком воспитании - и мама, и папа пытаются показать себя лучше, чем второй родитель, путём всяких поблажек для ребенка, а он потом начинает нагло манипулировать "предками").
Для других домашних животных, думаю, будет актуален тот же совет, что и для котов - оставьте животное в родном месте обитания, не мучайте его переездами без необходимости.