Приведенные слова толкуются по-разному в зависимости от их лексического значения, что определяется довольно легко, если есть перед читателем предложение или хотя бы словосочетание. Да у них и корни в этом случае будут разные. Например: песню можно запЕть или запевать, а горькое лекарство нужно запИть или запивать водичкой. Вот вам и проверка гласной, от которой зависит значение слова.
Глагол запевать имеет однокоренные слова -- песня, пение, допеть, напеть, подпеть и другие приставочные глаголы, в которых проверяемая гласная находится под ударением, то есть произносится четко, ясно, ошибиться в ее написании просто невозможно. Но к этому семейству однокоренных слов относятся и глаголы "распеваться, напевать, подпевать, припевать, запевать", в которых эта же корневая гласная безударная. Но смысл этих слов один и тот же, корень тот же -- пе-.
Исходным (мотивирующим) для глагола запИвать является глагол пить, однокоренные -- испить, отпить, допить, распить и др. с одним и тем же корнем пи-. Поэтому гласная и пишется и в однокоренных словах с этой безударной гласной, как, например, в словах "выпить, напиваться, недопивать, распивать" и т.п.
Таким образом, оба заданных глагола имеют место быть в русском языке, а для их правильного написания необходимо определить по контексту значение слова, подобрать однокоренные слова и выделить корень в них.