Смотря какой телефон. Если это простейшая "звонилка" 20-и и более летней давности, то только через сервис на предмет определения - что именно там "умерло" и целесообразен ли ремонт с экономической точки зрения.
Если это телефон более позднего поколения и имеет интерфейс для подключения к компьютеру, то открываются возможности проделать это самостоятельно. Если однозначно понятно, что "скончался" дисплей, а все остальное подает признаки жизни, то можно воспользоваться программой связи компьютера с данной моделью телефона. Программа сама проникнет во все места хранения информации в телефоне и выведет данные на монитор компьютера с предложением архивации на диске компьютера, а то и в "облачное" хранилище. Если такой телефон вообще не подает признаков жизни и не определяется компьютером, то придется обратиться на сервис, где попытаются оживить умершую часть телефона, если это невозможно, то остается последний шанс - выпаять микросхему флеш-памяти и прочитать ее на внешнем устройстве (стенде), таковые у ремонтников имеются.
Если это смартфон, то при первом запуске он обязательно предложит синхронизацию с облачным хранилищем, что при постоянном подключении к интернету дает полную гарантию сохранности данных аппарата. Если же выхода в интернет нет, то придется идти по пути, описанном чуть выше.