Неграмотно и неграмотно - эти написания слов как слитное, так и раздельное с "не" могут быть в зависимости от контекста.
Напишу слитно слово "неграмотно" в предложении с утверждением, например:
Это написание слова неграмотно.
Слово "неграмотно", краткую форму прилагательного среднего рода, можно заменить синонимом "ошибочно". Аналогично пишется омонимичное ему однокоренное наречие:
Он пишет (как?) неграмотно.
Раздельно напишу слово не грамотно в предложении, содержащем противопоставление:
Ученик написал диктант не грамотно, а со множеством орфографических и синтаксических ошибок.
Слова далеко, вовсе и отнюдь усиливают отрицание, выраженное частицей не, которая в их присутствии в контексте пишется раздельно, например:
Это написание далеко (вовсе, отнюдь) не грамотно.
Отрицательное наречие или местоимение, начинающиеся с приставки ни-, - это тоже повод написать слово "не грамотно" раздельно, например:
Нисколько не грамотно выглядит эта контрольная работа.
Ничуть не грамотно оформлена эта статья.