<span>Возможно ли в четырехугольнике
а) два угла острые? </span>
Прямая AH перпендикулярна плоскости <em>α</em> (альфа) и любой прямой в этой плоскости.
AH⊥<em>α</em>, a∈<em>α </em>=> AH⊥a
Прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости AHM, следовательно перпендикулярна плоскости AHM.
a⊥AH, a⊥AM => a⊥(AHM)
Прямая a перпендикулярна плоскости AHM и любой прямой в этой плоскости.
a⊥(AHM) => a⊥HM
Пусть дан треугольник ABC, у которого ∠A -тупой, CF и BE - его высоты, проведенные к сторонам AB и AC соответственно, и пусть продолжения этих высот пересекаются в точке D. Т.к. угол А - тупой, то D лежит вне ABC.
Тогда ∠CAB=180°-∠CAF. Но ∠CAF=∠CDE, т.к. треугольники CAF и CDE - прямоугольные с общим углом С, т.е. ∠CAB=180°-∠CDE. Значит sin(∠CAB)=sin(180°-∠CDE)=sin(∠CDE)=sin(∠CDB). По теореме синусов радиус окружности, описанной около ABC, равен BC/(2sin(∠CAB)), а радиус окружности, описанной около CDB равен BC/(2sin(∠CDB)). В силу равенства синусов, получаем равенство радиусов этих окружностей, что и требовалось.
Биссектриса прямоугльниго треугольника делит гипотенузу на отрезки пропорциональные катетам. Если один катет принять за 20 * Х, а второй - за 15 * Х, то по теореме Пифагора получаем уравнение
(20 * Х)² + (15 * Х)² = 35² , откуда 625 * Х² = 1225 или Х = 1,4
Таким образом, катеты треугольника равны 28 и 21 см., а его площадь
S = 28 * 21 / 2 = 294 см²
Решение:
5 * 2 = 10 см - основание треугольника
10 * 5 : 2 = 25 см²
Ответ: площадь треугольника 25 см²