2.2. |x^2 - 3x - 18| + |23x - 46| = -x^2 + 3x + 18
1) x^2 - 3x - 18 = (x+3)(x-6)
Если x <= -3 U x >= 6, то x^2 - 3x - 18 >= 0; |x^2 - 3x - 18| = x^2 - 3x - 18
Если x ∈ (-3; 6), то x^2 - 3x - 18 < 0; |x^2 - 3x - 18| = -x^2 + 3x + 18
2) 23x - 46 = 23(x - 2)
Если x < 2, то 23x - 46 < 0; |23x - 46| = 46 - 23x
Если x > 2, то 23x - 46 > 0; |23x - 46| = 23x - 46
Итак, рассматриваем промежутки:
1) x ∈ (-oo; -3); |x^2 - 3x - 18| = x^2 - 3x - 18; |23x - 46| = 46 - 23x
x^2 - 3x - 18 + 46 - 23x = -x^2 + 26x - 28
2x^2 - 26x - 26x + 28 + 28 = 0
2x^2 - 52x + 56 = 0
x^2 - 26x + 28 = 0
D/4 = 13^2 - 28 = 169 - 28 = 141
x1 = 13 - √141 ≈ 1,12 > -3 - не подходит
x2 = 13 + √141 > -3 - не подходит
2) x ∈ [-3; 2); |x^2 - 3x - 18| = -x^2 + 3x + 18; |23x - 46| = 46 - 23x
-x^2 + 3x + 18 + 46 - 23x = -x^2 + 26x - 28
-20x - 26x = -28 - 64
-46x = -92
x = -92/(-46) = 2, но x < 2 - не подходит
3) x ∈ [2; 6); |x^2 - 3x - 18| = -x^2 + 3x + 18; |23x - 46| = 23x - 46
-x^2 + 3x + 18 + 23x - 46 = -x^2 + 26x - 28
26x - 28 = 26x - 28
Это верно при любом x ∈ [2; 6)
4) x ∈ [6; +oo); |x^2 - 3x - 18| = x^2 - 3x - 18; |23x - 46| = 23x - 46
x^2 - 3x - 18 + 23x - 46 = -x^2 + 26x - 28
2x^2 + 20x - 26x - 64 + 28 = 0
2x^2 - 6x - 36 = 0
x^2 - 3x - 18 = 0
(x + 3)(x - 6) = 0
Подходит только x = 6
Решение уравнения: x ∈ [2; 6]. Целые корни: 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ: 5 целых корней.
3.1. |x^2 - 3x - 10| + |x^2 - 7x + 10| = |20 - 4x|; x ∈ [0; 10]
-x^2 + 3x + 10 + x^2 - 7x + 10 = -4x + 20 = 20 - 4x
Запишем так:
|x^2 - 3x - 10| + |x^2 - 7x + 10| = |(-x^2 + 3x + 10) + (x^2 - 7x + 10)|
Если |a| + |b| = |-a + b|, то a и b имеют разные знаки, то есть ab <= 0
(x^2 - 3x - 10)(x^2 - 7x + 10) <= 0
(x - 5)(x + 2)(x - 5)(x - 2) <= 0
(x - 5)^2*(x + 2)(x - 2) <= 0
Решение: x1 = 5; x2 ∈ [-2; 2]
Целые корни: -2; -1; 0; 1; 2; 5
Ответ: 6 корней.
=3y-2(y^2+6y+9)=3y-2y^2-12y-18=-2y^2-9y-18
Log₂(x+y)+2*log₄(x-y)=5 ОДЗ: x>y x>-y
3^(1+2*log₃(x-y)=48
log₂(x+y)+2*log₂²(x-y)=5
3*3^log₃(x-y)²=48
log₂(x+y)+2*(1/2)*log₂(x-y)=5
3*(x-y)²=48 |÷3
log₂(x+y)+log₂(x-y)=5
(x-y)²=16
1)
log₂((x+y)*(x-y))=5*log₂2
x-y=4
log₂(x²-y²)=log₂2⁵
y=x-4
x²-y²=32
y=x-4
x²-(x-4)²=32
x²-x²+8x-16=32
8x=48 |÷8
x=6 ⇒
y=6-4=2
2)
x²-y²=32
x-y=-4
x²-y²=32
y=x+4
x²-(x+4)²=32
x²-x²-8x-16=32
-8x=48 |÷(-8)
x=-6 ⇒
y=-2 ∉ ОДЗ
<span>Ответ: x=6 y=2.</span>
8.19 а)
sina*(-sina)*cosa/cosa*(-tga)*(-ctga)=-sin²a
b)
(-sina)*(-sina)*cosa*(-tga)/(-cosa)*(-cosa)*cosa*(-tga)=tg²a
8.22
a) sina=4/5 tg=4/3 ctg=3/4
b) cos=-√3/2 tg=-1/√3 ctg=-√3
c) sin=-0,8 tg=4/3 ctg=3/4
d) cos=0,6 tg=-4/3 ctg=-3/4
e) sin=12/13 cos=5/13 ctg=5/12
f) cos=-√2/2 sin=√2/2 tg=-1
g) sin=-5/13
h) cos=-√2/2