Квадрат вписан окружность, =>диагональ квадрата d =диаметру окружности D
D=2R, D=42√2
d=42√2
по теореме Пифагора: d²=a²+a²
(42√2)²=2a², a=42
2 способ
R²+R²=a²
2R²=a²
2*(21√2)²=a², a=42
Пусть 1 угол равен х°, тогда 2 угол равен 0,8х°. В сумме они дают 180°. х+0,8х=180; х=100, 0,8х=80.
Ответ: 1 угол равен 100°, 2 угол равен 80°.
Пусть имеем правильную пирамиду АВСS,
Проведём осевое сечение через ребро <span>ВS.
Получим треугольник Д</span>ВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани <span>АСS.
Из середины </span>SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и <span>SВ.
Это будут заданные расстояния МЕ = 2 и МК = </span>√10.
По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)<span>h.
Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.
</span>Определим SK = √(x²-10), SE = √(x²-4).
tgДSO = 2/√(x²-4), tgВSO = √10/√(х²-10)<span>.
</span>Выразим: ОВ = 2х*tgВSO = 2√10*х/√(х²-10),
ОД = 2х*tgДSO = 4х/√(х²-4)
А так как ОВ = 2ОД, составим уравнение:
2√10*х/√(х²-10) = 2*<span>4х/√(х²-4).
</span>После сокращения на 2х и возведения в квадрат обеих частей уравнения, получаем: 10/(х²-10) = 16/(х²-4).
Раскроем скобки и выразим относительно х:
10х²-40 = 16х²-160,
6х² = 120,
х² = 120/6 = 20,
Отсюда х = √20 = 2√5, высота пирамиды Н = 2х = 4√5.
Находим значения тангенсов углов:
tgДSO = 2/(√20-4) = 2/4 = 1/2, tgВSO = √10/(√20-10) = √10/√10 = 1.
Высота h = ВД =ВО + ОД = Н*tgВSO + Н*tgД<span>SO =
</span>= 4√5*(1/2) + 4√5*1 = 2√5 + 4√5 = <span>6√5.</span>
Теперь находим сторону основания:
а = h/cos30° = 6√5/(√3/2) = 12√5/√3 = 4√15.
Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 =
= 16*15√3/4 = 4*15√3 = 60√3.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*60√3*4√5 = 80√15 ≈ <span> 309,8387</span> куб.ед.