<span>На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A.
Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A.
Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение XA • AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d.
На продолжении отрезка BA за точку A отложим отрезок AC длины .
Тогда AB • AC = XA • AY = d, следовательно точки X, B, Y и C лежат на одной окружности.
Это означает, что окружности, описанные около треугольников BXY, проходят через фиксированные точки B и C,
следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC.</span>
<span>
Задача 2.<span>В пространстве даны n точек общего положения
(никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости, ).
Через каждые три из них проведена плоскость.
Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять,
найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.
Решение: Пусть X — произвольное множество из n – 3 точек.
Очевидно, что в нашем множестве M есть точка x, не принадлежащая множеству X.
Соединим ее прямыми с остальными точками множества M.
По условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n – 1.
Поскольку в множестве X менее n – 1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает X.
Через эту прямую и оставшиеся (n – 2) точки множества M проведём (n – 2) плоскости.
Так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве X, одна из них не пересекает X.
Эта плоскость и является искомой.
</span><span>
Задача 3.<span>Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты?
Решение: Ответ: Да.</span><span>Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, … ,x10 и S. Тогда</span><span>
<span>Следовательно, </span>. Пусть nk = 3k (k = 1, … ,10).
<span>Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа </span><span> удовлетворяют требованиям задачи.</span>
Задача 4.<span>В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно.
Пусть K — точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D — точка пересечения прямых B1C1 и A1K.
Докажите, что CD = CB1.
Решение: Заметим, что CA1 = CB1 (как касательные, проведенные к вписанной окружности из одной точки).
Пусть окружность с центром в точке C и радиуса CA1 = CB1 пересекает прямую A1K в точке D1.
Мы должны доказать, что точки D и D1 совпадают, т.е. что точки D1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
Прямая KA1 перпендикулярна A1C1 и, следовательно, параллельна биссектрисе BO.
Поэтому .
Угол C при вершине равнобедренного треугольника A1CD1 равен 180 – 2 • ∠ OBA1 = ∠ A + ∠ C,
следовательно, ∠ B1CD1 = ∠ A.</span><span>В равнобедренных треугольниках D1CB1 и B1AC1 углы при вершинах равны.
Поэтому равны и углы при основаниях: ∠ D1B1C = ∠ C1B1A.
Это и значит, что точки D1, B1, C1 лежат на одной прямой.
</span>
</span></span></span>