Дан <span>треугольник АВС со сторонами АВ =13, ВС =14 и АС =15. </span><span>Н, М и Л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис.
Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат точкой А в начало и стороной АС по оси Ох. Координаты точек А и С известны: А(0; 0), С(15; 0). По теореме косинусов найдём косинус, а затем и синус угла А и найдём координаты точки В: Хв = АВ*cos A, Yв = АВ*sin A. </span>cos A = (13²+15²-14²)/(2*13*15) = <span><span><span>
198/</span><span>390 = </span></span></span><span><span><span>
33/</span>65 </span></span>≈ <span><span>0,507692. </span></span>sin A = √(1 - cos² A) = √ (3136/4225) = 56/65 ≈ <span><span>0,861538. Отсюда получаем В(6,6; 11,2).
</span></span><span><span /><span><span>
Центр
вписанной окружности - точка Л пересечения биссектрис. </span><span>Хл = (</span></span></span><span>
ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс</span><span>)/Р = 7 Ул = (ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус)/Р
= 4. Здесь периметр Р = 42.
</span><span><span>Точку Н
пересечения высот находим как точку пересечения высот их точек А и С. </span></span><span><span /><span><span><span>АА₂:</span> (Х-Ха)
(У-Уа)
</span><span> --------- = --------- </span></span></span><span> (Хв-Хс </span><span> (<span>Ус-Ув) </span></span> АА₂:<span> -8,4
Х
+
11,2
У
+
0
=
0 уравнение общего вида, </span> АА₂: <span>
у =
0,75
х
+
<span>0 уравнение с коэффициентом.
</span></span><span><span /><span><span><span>СС₂:</span>
Х-Хс У-Ус </span> -------- = --------- </span></span><span> Ха-Хв </span><span> <span>
Ув-Уа </span></span>СС₂: <span> -6,6
Х
-
11,2
У
+
99
=
0 </span>уравнение общего вида, СС₂: <span>
у =
-0,589286
х
+
8,8392857 </span>уравнение с коэффициентом. В результате решения системы из двух полученных уравнений находим координаты точки Н: <span><span /><span><span>
Точка
Н:
</span><span>
x =
</span><span>6,6, </span></span></span><span><span> y =
</span><span> 4,95. По полученным координатам заданных точек находим длины отрезков треугольника </span></span><span>НМЛ и по формуле Герона находим его площадь. </span><span><span /><span><span> л н
м p 2p S </span><span>
1,35657 0,33333 1,03078
1,360339 2,720678
0,04166666 </span><span>cos Л =
-0,97014 сos Н =
0,998223
cos М =
0,982872187
</span><span>
Лrad =
2,896614
Нrad =
0,059631 Мrad =
0,18534795
</span><span>
Лgr =
165,9638 Hgr =
3,416588 Мgr =
10,61965528 . </span></span></span> Ответ: площадь треугольника НМЛ равна 0,04166666 кв.ед.