Полиэтилен, а бочка скорее всего из него, в домашних условиях покрасить практически невозможно.
Можете обмотать цветным скотчем или покрасить, а потом обмотать прозрачным скотчем, чтобы краска не облупилась. Не знаю, насколько вам важно, как будет выглядеть бочка, обмотанная скотчем.
Можете, конечно попробовать покрасить, но качество и долговечность не гарантирую. Для начала помойте бочку щеткой с мыльной водой. Затем всю поверхность под покраску нужно будет зачистить наждачной шкуркой до матовой.
Затем нужно обезжирить растворителем на ацетоновой основе. Для лучшего эффекта сначала желательно нанести специальную грунтовку для пластика. А потом уже красьте нитроэмалью.
Есть еще специальная термоусадочная пленка разных цветов, которой обтягивают автомобили. Покупаете на один оборот вокруг бочки (можно с небольшим нахлестом), потом специальным феном по ней "проходите", и пленка утягивается, плотно обжимая бочку. Но здесь тоже есть одно НО - на автомобили пленка клеится на металл, а как будет чувствовать себя пластик бочки под горячим феном - не знаю.