X^2- x во второй степени
{2x-4>=0 |:2 (перенесем -4 за >=)
{x^2-7x+12>0
{x>=2 (подставим во второе)
{2^2-7*2+12>0 (решаем)
4-14+12>0
2>0 (верно) => x принадлежит числам от двух и выше
Ответ:: X принадлежит (2; бесконечность)
1 + sin(П/2 + x/2) = cos(21П - x)
1. Произведем преобразования по формулам приведения тригонометрических функций.
sin(П/2 + x/2) = cosх/2
cos(21П - x) = cos(1П - x) = - cosx
2. Представим единицу как сумму квадратов синуса и косинуса половинного угла.
1 = sin2х/2 + cos2х/2
3. Представим cosx как косинус двойного половинного угла.
cos(2*x/2) = cos2x/2 - sin2х/2
4. Подставим все выражения в первоначальное выражение.
sin2х/2 + cos2х/2 + cosх/2 = - (cos2x/2 - sin2х/2)
sin2х/2 + cos2х/2 + cosх/2 = - cos2x/2 + sin2х/2
5. Перенесем все в левую часть и подведем подобные члены.
sin2х/2 + cos2х/2 + cosх/2 + cos2x/2 - sin2х/2 = 0
2cos2x/2 + cosx/2 = 0
cosx/2(2cosx/2 + 1) = 0
6. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
cosx/2 = 0; х/2 = П/2 + Пn; х = П + 2Пn, n - целое число.
или 2cosx/2 + 1 = 0; cosx/2 = - 1/2; х/2 = 2П/3 + 2Пn; х = 4П/3 + 4Пn, n - целое число.
Ответ: х = П + 2Пn, х = 4П/3 + 4Пn, n - целое числ
F(x0)=0,5*-3^2-1=3,5;f'(x)=0,5*2x=x;f'(x0)=-3;y=3,5-3*(x+3)=3x+9
1) y = (x² - 1)(x³ + x)
y ' = (x² - 1)' * (x³ + x ) + (x² - 1) * ( x³ + x)' = 2x(x³ + x) + (x² - 1)(3x² + 1) =
= 2x⁴ + 2x² + 3x⁴ + x² - 3x² - 1 = 5x⁴ - 1
2)
3)
Основное свойство первообразной.
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:
Признак постоянства функции. Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.
Доказательство. Зафиксируем некоторое x0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x0, что
<span>F(x)-F(x0) = F'(c)(x-x0).</span>
По условию F’ (с) = 0, так как с∈1, следовательно,
<span>F(x)-F(x0) = 0.</span>
Итак, для всех х из промежутка I
<span>F(x) = F(x0),</span>
т е. функция F сохраняет постоянное значение.
Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
<span>F(x)+C, (1)</span>
где F (х) — одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С — произвольная постоянная.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:
1) какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство
Ф(x)= F(x)+C.
Доказательство.
1) По условию функция F — первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F'(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому
(F(x) + C)' = F'(x) + C'=f(x)+0=f(x),
т. е. F(x) + C — первообразная для функции f.
2) Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф'(x) = f (х) для всех x∈I.
Тогда
(Ф(x) - F (x))' = Ф'(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.
Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(X) — F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.
Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(X) — F(x)=С, что и требовалось доказать.Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис.).
<span>
</span>