Надо доказать, что для сторон треугольника выполнено неравенство
a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²>a³+b³+c³+2abc. Трюк, который я собираюсь использовать, придуман не мной, но он очень эффективен в подобного типа задачах. Он сводится к тому, что мы используем замены a=x+y; b=x+z; c=y+z. То, что такие положительные x, y, z существуют (и, кстати, определены однозначно) следует из возможности вписать в треугольник окружность. Стороны точками касания при этом оказываются разбиты на отрезки, которые разбиваются на три пары равных отрезков - это следует из равенства отрезков касательных. Преимущество такой замены следует из того, что в отличие от сторон треугольника, которые связаны неравенством треугольника, отрезки x, y и z могут быть любыми. После указанной замены и приведения подобных членов (конечно, это требует некоторых навыков и аккуратности) получаем неравенство
2(x³+y³+z³)+5(x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²)+12xyz>
2(x³+y³+z³)+5(x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²)+4xyz,
которое очевидно.
Является, первый член равен 1/4 и знаменатель q=2
Восьмой член равен произведению первого члена на q в седьмой степени, те
1/4 •128=32
Десятый член равен 1/4 •512=128,где 512 - это 2 в 9 степени
S8=(1/4 -32•2)/(1-1/4)=63/64•4/3=21/16
y=x-4
y'=1>0 - возрастает на D(y)
x=2, y=2-4=-2 - наименшее
x=4, y=4-4=0 - наибольшее
1) 0.2х+1.1х=1.4-2.7
1.3х=-1.3
х=1.3:1.3
х=-1
2) 5.4+3.6=0.3х+1.5х
9=1.8х
х=9:1.8
х=5
3) 1/8х-1/6х=10-15
-1/24х=-5
х=-5:(-1/24)
х=120