Смотри вложения там всё написано
1) При a = -1/2 уравнение имеет вид
(1/2)х-(5/2)=0
х=5 - целый корень.
2) При а ≠ (-1/2) решаем квадратное уравнение
(2a+1)x^2 -аx + a-2 = 0
D = (-а)² - 4·(2а+1)(а-2) = - 7a²+12а+8
Если D≥0 уравнение имеет корни
- 7a²+12а+8 ≥0
-7(a-a₁)(a-a₂) ≥0 или (a-a₁)(a-a₂) ≤0
при a₁≤a≤a₂ ,
где а₁=(12-√368)/14=(6-√92)/7≈-0,51; а₂=(12+√368)/14=(6+√92)/7≈2,22 уравнение имеет корни
x₁ = (а - √(- 7a²+12а+8)) / (4a+2)
x₂ = (а +√(- 7a²+12а+8)) / (4a+2)
По условию оба эти корня должны быть целыми, то есть:
дискриминант не может быть числом иррациональным.
1) D = (- 7a²+12а+8) должен быть квадратом.
Если построить график u=-7а²+12а+8 на (-0,51;2,22), то u ∈ (0; 10,5)- множество значений дискриминанта.
На интервале (0; 10,5) точные квадраты:
1; 4; 9
Решаем уравнения
D=1 или - 7a²+12а+8=1
D=4 или - 7a²+12а+8=4
D=9 или - 7a²+12а+8=9
Может быть можно проверить и дробно-рациональные квадраты?
D=1,21
D=1,44
и т.д.
При а = 2 дискриминант будет точным квадратом D = 4,
уравнение принимает вид
5х²-2х=0
x₁=0 ; х₂=0,4
как видим, второй корень - рациональный.
Ответ. при а=-1/2
-0,4(3x-1)+8(0,8x-0,3)=5-(3,8x+4)
-1,2x+0,4+6,4x-2,4=5-3,8x-4
5,2x+3,8x=1-0,4+2,4
9x=3
x=1/3
Таких точек 2 - одна точка касания, вторая - точка пересечения.
Находим точку касания.
y(k) = y'(хо)*(x - xo) + y(xo).
Производная равна y' = x² - 4.
Подставим координаты точки М, через которую проходит касательная.
18 = (xо² - 4)*(0 - хо) + (1/3)хо³ - 4хо,
-xо³ + (1/3)хо³ = 18,
(-2/3)хо³ = 18,
хо³ = -54/2 = -27.
хо = ∛(-27) = -3.
уо = (1/3)*(-27) - 4*(-3) = -9 + 12 = 3.
Точка касания А(-3; 3).
Уравнение касательной:
y(k) = (9 - 4)*(x -(-3) + (-9 + 12) = 5x + 15 + 3 = 5x + 18.
Находим точку пересечения.
5x + 18 = (1/3)x³ - 4x,
(1/3)x³ - 9x - 18 = 0.
Разложив на множители (х - 6)(х + 3)² = 0 получаем 2 корня:
х = 6 и х = -3 (это точка касания).
Точка В: у = 5*6 + 18 = 48.
Ответ: точки А(-3; 3) и В(6; 48).