"Бабай" это татарские и "дедушка, дед", и "старик".
Татарские женщины, пытаясь успокоить плачущего или непослушного ребенка, испокон веков повторяют ему буквально следующее: "Если ты не перестанешь плакать (варианты: "шалить, не будешь слушаться и т.п), я тебя отдам вон тому бабаю (какому-то условному, вымышленному или оказавшемуся в поле зрения прохожему деду, старику), и пусть он тебя унесет к своей бабушке (татарская бабушка - "äби)!"
Бабай этот - он не страшный, обыкновенный, но он, даже воображаемый, - чужой, незнакомый старик. Никто не захочет, чтобы его унесли к чужой бабушке от своих мамы и папы, своих бабушек и дедушек!
Настоящие мальчики и девочки чужих бабаев не очень боятся, а своих собственных - любят.
Одна из "валентинок" , полученных мной от одной девочки по имени Карина - тому убедительное доказательство:
В памяти близких соседей татар (когда-то, несомненно, знавших, кто такой "бабай" и со знанием дела это слово использовавших), за последние пятьсот лет это знание стерлось и "бабай" превратился в нечто нечеловеческое и фантастическое.