BD является диагональю четырехугольника ABCD
BC II AD, т.к. AB=BC и AB II CD
угол BDA равен углу CDB, как углы на крест лежащие при параллельных прямых.
Значит угол BDA=15 градусов
В задачи требуется доказать, что S₁ / S₂ = 1/2, где S₁ - площадь MNKL , а S₂<span> - площадь АВСВ</span>
Для начала докажем, что KLMN - параллелограмм:
Проведем диагонали АС и BD четырехугольника АВСD.
Рассмотрим ΔBCD:
по условию N и K - середины сторон BC и CD соответственно, значит
NK-средняя линия <span>ΔBCD - по определению <span>(средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника),
</span>следовательно BD || NK и NK=0.5BD.
Аналогично рассмотрим </span>ΔАBD:<span>
по условию M и L - середины сторон AB и AD соответственно, значит
ML - средняя линия </span><span>ΔBCD по определению, следовательно
ML || BD и ML=0.5BD
Таким образом, </span>BD || NK и BD || ML, а также NK=0.5BD и ML=0.5BD, следовательно NK || ML и NK=ML (закон транзитивности)<span>, значит KLMN - параллелограмм по свойству:<span>" если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник-параллелограмм".
Аналогично можно доказать, что АС || KL и АС || MN
</span>
площадь любого четырехугольника находится по формуле:
S=d</span>₁*d₂*sina / 2, где d<span>₁ и d₂ - диагонали, а-угол между ними.
d</span>₁=AC ,d₂=BD, ∠а=∠СOD
площадь параллелограмма можно найти по формуле:
S=а*в*sinα, где а и в - смежные стороны, α-угол между ними.
а=NK, в=KL, ∠α=∠NKL
докажем что ∠a=∠α, то есть ∠СOD=∠NKL
Пусть Р - точка пересечения АС и NK
O-точка пересечения АС и BD
было сказано, что BD || NK и АС || KL, значит ∠СРК=∠COD - как соответственные углы при параллельных прямых BD и <span>NK и секущей АС.
</span>Так же <span>∠СРК=∠NKL - как накрест лежащие углы при параллельных прямых АС и KL и секущей NK.
Итак, </span>∠СРК=∠COD и ∠СРК=∠NKL, значит ∠COD=∠NKL <span>(закон транзитивности)
</span>Наконец,
S₁/S₂=а*в*sinα / (d₁*d₂*sina / 2)=2 а*в*sinα / (d₁*d₂*sina )=2NK*KL*sinα / (AC*BD*sinα)= 2*0.5BD*0.5AC*sinα / (AC*BD*sinα)= =2*0.5*0.5=0.5=1/2 -ч.т.д.
Решим данную задачу при помощи уравнения.
Пусть один из смежных углов х градусов, тогда второй из смежных углов (х + 42) градусов. Нам известно, что сумма градусных мер смежных углов равна 180 градусов. Составляем уравнение:
х + х + 42 = 180;
х + х = 180 - 42;
х + х = 138;
х * (1 + 1) = 138;
х * 2 = 138 (для того, чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель);
х = 138 : 2;
х = 69 градусов — один из смежных углов;
69 + 42 = 111 градусов — второй из смежных углов.
Ответ: 69 градусов; 111 градусов.
Расстояние между скрещивающимися прямыми есть длина перпендикуляра (OK). OK = половине диагонали основания (или любой грани - как Вам угодно). Т. к. грань - квадрат, то диагональ = a√2.
OK = AC/2 = (a√2)/2