1.
Обозначим треугольник ABC (∠C - прямой), медианы CK и AL, их точку пересечения - O. (Первая картинка)
Гипотенуза AB равна 10 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Отсюда AK=KB=CK=5 (по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе).
Из прямоугольного ΔACL по теореме Пифагора
![\bf AL=\sqrt{AC^2+CL^2}= \sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbf%20AL%3D%5Csqrt%7BAC%5E2%2BCL%5E2%7D%3D%20%5Csqrt%7B6%5E2%2B4%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B36%2B16%7D%3D%5Csqrt%7B52%7D%3D2%5Csqrt%7B13%7D%20%20%20)
Медианы в точке пересечения делятся в соотношении 2:1 считая от вершины, отсюда
![\bf OK=5 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\\ AO=2\sqrt{13} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbf%20OK%3D5%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%3D%5Cdfrac%7B5%7D%7B3%7D%5C%5C%20%20%20AO%3D2%5Csqrt%7B13%7D%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%3D%5Cdfrac%7B4%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B3%7D%20%20%20%20%20)
Рассмотрим ΔAOK (синим цветом на рисунке). Проведем в нем высоту OM (ее длина - искомое расстояние). Обозначим MK=x, откуда AM=5-x. По теореме Пифагора из прямоугольных ΔOMK и ΔOAM
![\bf OM^2=OK^2-MK^2\\ OM^2=AO^2-AM^2\\ \Rightarrow AO^2-AM^2=OK^2-MK^2\\ \\ \left(\dfrac{4\sqrt{13}}{3}\right)^2-(5-x)^2=\left(\dfrac{5}{3} \right)^2-x^2\\ \dfrac{16 \cdot 13}{9}-25+10x-x^2=\dfrac{25}{9}-x^2\\ 208-225+90x=25\\ 90x=42\\ x=\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15} \\ \Rightarrow \ OM=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2-\left(\dfrac{7}{15}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{25}{9}-\dfrac{49}{225}}=\sqrt{\dfrac{625-49}{225}}=\sqrt{\dfrac{576}{225}}=\\ =\dfrac{24}{15}=1,6](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbf%20OM%5E2%3DOK%5E2-MK%5E2%5C%5C%20OM%5E2%3DAO%5E2-AM%5E2%5C%5C%20%5CRightarrow%20AO%5E2-AM%5E2%3DOK%5E2-MK%5E2%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cleft%28%5Cdfrac%7B4%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B3%7D%5Cright%29%5E2-%285-x%29%5E2%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B5%7D%7B3%7D%20%5Cright%29%5E2-x%5E2%5C%5C%20%20%20%20%5Cdfrac%7B16%20%5Ccdot%2013%7D%7B9%7D-25%2B10x-x%5E2%3D%5Cdfrac%7B25%7D%7B9%7D-x%5E2%5C%5C%20%20%20208-225%2B90x%3D25%5C%5C%2090x%3D42%5C%5C%20x%3D%5Cdfrac%7B42%7D%7B90%7D%3D%5Cdfrac%7B7%7D%7B15%7D%20%20%5C%5C%20%5CRightarrow%20%5C%20OM%3D%5Csqrt%7B%5Cleft%28%5Cdfrac%7B5%7D%7B3%7D%5Cright%29%5E2-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B7%7D%7B15%7D%5Cright%29%5E2%7D%20%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B25%7D%7B9%7D-%5Cdfrac%7B49%7D%7B225%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B625-49%7D%7B225%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B576%7D%7B225%7D%7D%3D%5C%5C%20%20%20%3D%5Cdfrac%7B24%7D%7B15%7D%3D1%2C6%20%20)
<u><em>Ответ: 1,6</em></u>
2.
Решаем табличкой (Вторая картинка).
Всего возможных исходов 6·6=36. 6 из них условию не удовлетворяют (красным цветом), т.е. 36-6=30 исходов благоприятны (зеленым цветом). Отсюда вероятность того, что произведение не превышает 20, равняется 30/36=5/6.
<u><em>Ответ: 5/6</em></u>
3.
Рассчитаем скорости стрелок. Минутная стрелка делает полный оборот (360°) за 60 минут, т.е. ее скорость равна 360/60=6°/мин. Часовая стрелка совершает оборот за 12 часов, т.е. ее скорость равна 360/(12·60)=0,5°/мин.
4 часа это 4/12=1/3 часть от окружности, т.е. 360/3=120°. Обозначим искомое время t, тогда угол часовой стрелки изменяется по закону 120+0,5t, а минутной - 6t. Составим уравнение.
![\bf 120+0,5t=6t\\ 5,5t=120\\ t=\dfrac{120}{5,5}=\dfrac{240}{11} \ (min)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbf%20120%2B0%2C5t%3D6t%5C%5C%205%2C5t%3D120%5C%5C%20t%3D%5Cdfrac%7B120%7D%7B5%2C5%7D%3D%5Cdfrac%7B240%7D%7B11%7D%20%5C%20%28min%29%20%20%20)
<u><em>Ответ: 240/11 мин</em></u>