Числа, которые делятся на 4, то есть 484 и 10000 точно можно. 777 = 1 + 776 = 1 + 4*194 тоже можно. Делим карту на 4 части, потом 1 часть оставляем и остальные 3 части делим на 4 много раз. Получаем 1+4*194. Остальные не могут быть.
Сначала был один кусок (вся газета). После первого хулиганского действия их стало четыре, то есть количество кусков увеличилось на три. Ясно, что после каждого действия количество кусков увеличивается на три, значит, возможное количество кусков на каждом этапе описывается формулой 3n+1, где n=0; 1; 2; ..., то есть это такое число, которое дает в остатке 1 при делении на 3. Как известно, остаток при делении на 3 самого числа и суммы его цифр совпадают. Проверим, какие остатки при делении на 3 дают приведенные числа.