А). найдем диагонали квадрата АВСД по теореме Пифагора: АС=ВД=4√2
Т.к. ВМ перпендикулярна плоскости квадрата, то тр-к МВК - прямоугольный, МК найдем по теореме Пифагора. ВК=½*ВД=2√2
MK^2=MB^2+BK^2=81+8=89
MK=√89
б). площадь тр-ка АСМ равна половине произведения стороны треугольника на проведенную к ней высоту
S(ACM)=½AC*MK=½*4√2*√89=2√178
Ну это устная задачка. Если описать окружность, то каждая сторона правильного девятиугольника стягивает дугу в 360°/9 = 40°. Три стороны BC, CD и DE вместе набирают 40°*3 = 120°, то есть хорде BE соответствует дуга в треть окружности. То есть в равнобедренном треугольнике BOE угол при вершине 120°, а два угла при основании 30°;
Площадь BOE равна R^2*sin(120°)/2 = R^2*√3/4 = 16√3; откуда R = 8;
Так как BOM - прямоугольный треугольник с углом ∠OBM = 30°; то
OM = R/2 = 4;
...= cosa(1+sina)/(1-sina) -cosa(1-sina)/(1+sina)=
(cosa+cosa*sina-cosa+cosa*sina)/((1-sina)(1+sina))=
2cosa*sina/(1-(sina)^2)= 2cosa*sina/(cosa)^2=2sina/cosa=2tga
при a=π/3, 2tg(π/3)=2√3
Сумма вертикальных углов МОЕ и РОК равна 198° => угол MOE = углу POK = 198° : 2 = 99°. Углы МОР и РОК - смежные. Сумма смежных углов равна 180° => угол МОР = 180° - угол РОК = 180° - 99° = 81°.
Ответ: угол МОР = 81°
Т.к в треугольниках стороны равны и по углу раны, то они равны по второму признаку равенства треугольников и В =К как соответственные в равных тр-ках.
2. Т.к в треугольнике два равных угла, то он равнобедренный. Провели АМ- это медиана, т.к М-середина АС. Медиана в равнобедеренном тр-ке является и высотой, значит, угол прямой=90