Прилагательное, Ед.ч., качественное прил., мж,р, неодуш, одуш, Р.п.
Опера ( ж.р ) - детектив впервые была поставлена в нашем театре .
Музей ( м.р ) - квартира поэта открылся после реставрации .
1)Век живи, век учись.
2)Золотой век.
3)Отживать свой век.
4)До скончания века.
5)Век Астреи.
6)Во веки веков.
7)Отныне и до века.
Падеж прилагательного можно проверить по падежу существительного. Чёрный (В.п.), белый (В.п.), чёрненькая (И.п.), белая (И.п.), ловкая (и.п.). В предложном падеже должен быть предлог, без предлога не пишется.
(вроде так...)