Если вас интересует общественный транспорт, способов - два.
Первый: на электричке от железнодорожных станций (пишу только станции рядом с метро): Каланчевская, Курская, Текстильщики, Царицыно. В Подольске останавливаются все без исключения электрички, едующие в этом направлении, в том числе экспресс до Тулы. Приезжаете на железнодорожную станцию "Подольск", далее в любом направлении на автобусе, троллейбусе, маршрутном такси, или на обычном такси.
Второй: на автобусе: от станции метро "Южная" или от станции метро "Бульвар Дмитрия Донского". Приезжаете сразу в центр города, едете дальше по Варшавскому шоссе, или пересаживаетесь на автобус или троллейбус нужного вам направления.
С Павелецкого вокзала идёт скоростная электричка прям до аэропорта Домодево. Либо от станции метро "Домодедовская" на маршрутке.
Москва - столица России и город миллионник по числу живущих и работающих в ней, ее сердце и краса. История Москвы очень богата и разнообразна. Чего стоит один ее пожар при Наполеоне, как стратегический ход. О ней много можно говорить, но лучше всё же один раз увидеть и самому оценить всю мощь и красоту этого города.
(1) На метро (станция "Комсомольская") по Кольцевой линии доехать до станции "Павелецкая". От Павелецкого вокзала ходят "Аэроэкспрессы" до Домодедово. Это самый быстрый и надёжный вариант, хотя и недешёвый. До Домодедово ходят и обычные электрички (они существенно дешевле), но гораздо реже Аэроэкспрессов.
(2) На метро доехать до станции "Домодедовская" (от "Комсомольской" по красной ветке, на станции "Охотный Ряд" пересадка на станцию "Театральная" зелёной ветки). Оттуда ходят автобусы и маршрутки (№308) до аэропорта. Дешевле Аэроэкспресса, но дольше, а учитывая, что Москва - одна большая автомобильная пробка - и не особо надёжно.
Слова "быстрее" и "дешевле" сразу наводят на мысли об отказе от наземного транспорта в пользу ж/д и метро. На них пробок не бывает.))
Итак:
Курский вокзал расположен возле станции метро Курская. Проезжаете от неё по кольцевой линии до станции Комсомольская (1 остановку). Выходите к Казанскому вокзалу. От Казанского вокзала ходит ускоренный электропоезд "Спутник". До станции Отдых ехать придётся чуть меньше 40 минут. (Интервалы у "Спутника нерегулярные, по выходным он не ездит). Вместо "Спутника" можно воспользоваться обычной электричкой до той же станции Отдых. Ехать будете примерно час. Обычная электричка несколько дешевле ускоренной. ( 115 рублей.)
Далее от платформы Отдых есть шаттл-басы до аэропорта. (Здесь уже без наземного транспорта не обойтись) Расписание шаттлов синхронизировано с ускоренными электричками. Приехав на обычной, вы, возможно, будете ждать немного дольше. Билет на шаттл можно купить одновременно с билетом на электричку в кассе на Казанском вокзале. Суммарно за детский (до 7 лет) билет придётся заплатить 65 рублей при ускоренном проезда либо 50,5 при использовании обычной электрички. Взрослые билеты обойдутся, соответственно, 260 р. или 202,5 р.