Слово табурет обозначает предмет мебели с круглым или квадратным жестким сиденьем на четырех (иногда трех) ножках без спинки. Это слово прошло длинный путь из французского в немецкий, а затем в русский язык.
В этом существительном при его произношении ударным является третий слог:
та-бу-рет.
Из-за чего неясно слышатся первый гласный.
Попробуем подобрать родственные слова, чтобы проверить безударный гласный корня:
табуреточка, табуретчик, табуреточный.
Безударный гласный, как заколдованный, так и не прояснился.
Что касается его написания, то французское слово tabouret, как видим, пишется с первым гласным а. Так и будем писать это слово в соответствии с языком-источником.
А в случае сомнения заглянем в орфографический словарь, где это слово обязательно есть.