"По-доброму" - это наречие (пишется через дефис).
"По доброму" - прилагательное с предлогом (пишется раздельно).
Примеры предложений:
Бабушка приветливо смотрела на меня и по-доброму улыбалась, я понял, она простила меня.
Мы договорились во время любых разногласий разговаривать друг с другом по-доброму.
Если относиться к другим по-доброму, они ответят тем же.
Новый учитель относился ко всем детям по-доброму, дети очень полюбили его.
Несмотря на усталость, мама всегда разговаривает с нами по-доброму, не поднимает голоса, даже если мы шалим.
С одноклассниками мы расстались по-доброму, теперь, спустя годы, я с теплотой вспоминаю их.
По доброму лицу учителя ученики поняли, что их шалость скорее позабавила его, нежели рассердила.
Мы будет праздновать этот праздник по доброму старому обычаю.
По доброму поступку незнакомца мы поняли, что он хороший человек.
Я очень скучаю по доброму лицу своей бабушки, которую не видела очень давно.
Мы каждое утро прогуливались по доброму и приветливому городку, любуясь светлыми набережными и цветущими парками.