Существительное неодушевленное слово Корни давайте просклоняем в форме множественного числа таким образом:
Именительный падеж /Что?/: родовые корни;
Родительный падеж /Чего?/: родовых корней;
Дательный падеж /Чему?/: родовым корням;
Винительный падеж /Что?/: родовые корни;
Творительный падеж /Чем?/: родовыми корнями;
Предложный падеж /О чем?/: о о родовых корнях.
<hr />
если речь идет о происхождении, истоках, то данное слово используется только во множественном числе.
Но есть и форма единственного числа, которая используется в других значениях (например, для обозначения части растения) - Корень. Слово мужского рода, давайте тоже его просклоняем:
Именительный падеж /Что?/: развитый корень;
Родительный падеж /Чего?/: развитого корня;
Дательный падеж /Чему?/: развитому корню;
Винительный падеж /Что?/: развитый корень;
Творительный падеж /Чем?/: развитым корнем;
Предложный падеж - /О чем?/: о развитом корне.